Making of Zwillingsparadoxon

Varianten der Komplexen Zahlen und die daraus resultierende Inspiration

Variants of complex numbers and the inspiration spawned thereof

Wer war im Zwillingsparadoxon-Vortrag?

Who attended my talk about the twin paradox?

Reprise: Kreise!

Reprise: Circles!

Wer kennt komplexe Zahlen?

Who is familiar with complex numbers?

Crash-Kurs: Crash course:

$i^2=-1$

Spezielle Relativitätstheorie (SRT)

Special relativity (SR)

Abstand wie in jeder kennt: The distance you know:
$d^2=x^2+y^2+z^2$

Abstand in der vierdimensionalen Raumzeit: Distance in four dimensional spacetime:
$d^2=(ct)^2-x^2-y^2-z^2$

Oft als Erweiterung des dreidimensionalen Raums: Often as extension of three dimensional space:
$d^2=x^2+y^2+z^2-(ct)^2$

SRT vs Komplexe Zahlen...

SR vs complex numbers...

Unvorteilhaft: Disadvantageous:
$d^2=x^2+y^2+z^2+(ict)^2$

$\left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z\\ ict\\ \end{array} \right)$

Philosophische Gedanken zu "Zeit" als "imaginärem Raum"...

Philosophical thoughts about "time" as "imaginary space"...

Falsche Richtung für die Allgemeine Relativitätstheorie!

Wrong direction of thought to tackle general relativity!

SRT vs Komplexe Zahlen...

SR vs complex numbers...

Nicht jede "-1" ist ein "i Quadrat"!

Not every "-1" is an "i squared"!

"-1" kommt aus der (Pseudo)-Metrik!

"-1" originates from the (pseudo) metric!

$\left(\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end{array}\right)$

SRT vs Komplexe Zahlen...

SR vs complex numbers...

Noch besser: Zeit mit "+1" und Raum mit "-1"

Even better: time as "+1" and space as "-1"

$\left(\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end{array}\right)$

$d^2=(ct)^2-x^2-y^2-z^2$

Zeit-artige Abstände von Ereignissen reell! Time-like distances between events are real numbers!

Raum-artige Abstände imaginär! Space-lime distances are imaginary!

Komplexe Zahlen

Complex numbers

Natürliche Zahlen 0,1,2,3,4,...

Natural numbers 0,1,2,3,4,...

$3-5=?$ => Negative/Ganze Zahlen! $3-5=?$ => Negative/whole numbers!

$3/5=?$ => Brüche! Rationale Zahlen! $3/5=?$ => Fractions! Rational numbers!

$\sqrt{2}=?$ => Irrationale Zahlen! $\sqrt{2}=?$ => Irrational numbers!

$\pi=\sqrt{?}$ => Transzendente/Reelle Zahlen! $\pi=\sqrt{?}$ => Transcendent/real numbers!

$\sqrt{-1}=?$ => Imaginäre/Komplexe Zahlen! $\sqrt{-1}=?$ => Imaginary/complex numbers!

Komplexe Zahlen

Complex numbers

$z=a+bi$

$i^2=-1$

$i^3=$$-i$

$i^4=1$

$i^5=i$

Multiplikation

Multiplication

$z_1=a+bi$

$z_2=c+di$

$z_1z_2=(a+bi)*(c+di)$

$z_1z_2=ac+adi+cbi+bdi^2$

$z_1z_2=(ac-bd)+(ad+cb)i$

Demo! Spirale! Spiral!

Komplexe Zahlen

Complex numbers

passen durch die Analogie von
Multiplikation und Drehung perfekt zur

Euklidischen Metrik

Analogy of multiplication and rotation make them fit perfectly on a

euklidean plane

Anormal-komplexe Zahlen

oder "Binäre Zahl"

oder "split-complex number"

Split-complex numbers

$z=a+bk$

$k^2=+1$

Multiplikation

Multiplication

$z_1=a+bk$

$z_2=c+dk$

$z_1z_2=(a+bk)*(c+dk)$

$z_1z_2=ac+adk+cbk+bdk^2$

$z_1z_2=(ac+bd)+(ad+cb)k$

Demo! Spirale! Spiral!

Anormal-komplexe Zahlen

Split-complex numbers

passen durch die Analogie von
Multiplikation und Lorentz-Transformation perfekt zur

Minkowski Metrik

Analogy of multiplication and Lorentz transformation make them
fit perfectly on a

minkowski plane

Duale Zahlen

Dual numbers

$i^2=-1$

$k^2=+1$

Was geht denn noch?

What else is possible?

Andere Zahlen führen nur zu Ellipsen und Verzerrungen... Other numbers just lead to ellipses and distortions...

...bis auf eine! ...except for one!

$\epsilon^2=0$

Ihhh! Ein Null-Teiler! Ugh! A zero divisor!

Multiplikation

Multiplication

$z_1=a+b\epsilon$

$z_2=c+d\epsilon$

$z_1z_2=(a+b\epsilon)*(c+d\epsilon)$

$z_1z_2=ac+ad\epsilon+cb\epsilon+bd\epsilon^2$

$z_1z_2=(ac+0)+(ad+cb)\epsilon$

Demo! Spirale! Spiral!

Duale Zahlen

Dual numbers

passen durch die Analogie von
Multiplikation und Galilei-Transformation perfekt zur

Galilei Metrik

Analogy of multiplication and Galilei transformation make them fit perfectly on the

galilei plane

Triptychon der Symmetrie

Triptych of symmetry

Euklid Galilei Minkowski
Y-Achse
kippt um $\alpha$
Y axis tilts by $\alpha$
X-Achse... kippt um $\alpha$
X axis tilts by $\alpha$
... kippt nicht
X axis doesn´t tilt
...kippt um $-\alpha$
X axis tilts by $-\alpha$
Pythagoras
Distance pythagoras
$\sqrt{t^2+x^2}$
$\sqrt{t^2}$
$\sqrt{t^2-x^2}$
Metrik
Metric
\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}
$\Delta$-Ungleichung
Triangle inequality
$A+B\gt C$
$A+B= C$
$A+B\lt C$
Komplexe
Zahlen
Complex numbers
$a+bi$
$i^2=-1$
$a+b\epsilon$
$\epsilon^2=0$
$a+bk$
$k^2=+1$

Kontinuum

Continuum

-1, 0 und 1 sind nur drei Punkte auf einer
kontinuierlichen Skala

-1, 0 and 1 are just three points on a continous scale

Der kontinuierliche Übergang veranschaulicht uns wie sehr die Kreise und Hyperbeln zusammenhängen... The continous transformation shows how circles are related to hyperbolas...

...und natürlich auch das Geraden-Paar der Galilei-Metrik ...and of course to also to the parallels of the galilei plane

Demo!

Kontinuum nur über die Null

Continuum only via zero

Ausschlaggebend ist das Verhältnis der beiden "Gewichtungsfaktoren" in der Metrik

Essential is the relation of the weight factors

Galilei-Metrik erfordert Verhältnis von "Zeit 1":"Raum 0" Galilei metric requires a relation of "time 1":"space 0"

Als Erweiterung des Raums zur Raumzeit wäre ein Faktor "unendlich" notwendig Spacetime as an extension of space would require a factor "infinity"

Auch deshalb ist die Zeit die bessere Wahl als primäre Achse Another reason why time is the better primary axis

Nochmal Nullteiler

Zero divisor revisited

Minkowski-Fall $k^2=+1$

Minkowski case $k^2=+1$

$(1+k)*(1-k)=?$

$(1+k)*(1-k)=1*1+1*(-k)+k*1+k*(-k)$

$(1+k)*(1-k)=1-k+k-k^2$

$(1+k)*(1-k)=1-k+k-1$

$(1+k)*(1-k)=0$

Irgendwie passend zu einer PSEUDO-Metrik... Somehow fitting for a PSEUDO metric...

Nur die "echten" komplexen Zahlen sind ein Körper Only the "genuine" complex numbers form a field

Fragen?

Questions?

z.B. zum e.g. regarding the Triptychon Triptych der of Fraktale fractals ?

Danke! Thank you!