Reprise: Kreise!
Reprise: Circles!
Crash-Kurs:
Crash course:
$i^2=-1$
Abstand wie in jeder kennt:
The distance you know:
$d^2=x^2+y^2+z^2$
Abstand in der vierdimensionalen Raumzeit:
Distance in four dimensional spacetime:
$d^2=(ct)^2-x^2-y^2-z^2$
Oft als Erweiterung des dreidimensionalen Raums:
Often as extension of three dimensional space:
$d^2=x^2+y^2+z^2-(ct)^2$
Unvorteilhaft:
Disadvantageous:
$d^2=x^2+y^2+z^2+(ict)^2$
$\left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z\\ ict\\ \end{array} \right)$
Philosophische Gedanken zu "Zeit" als "imaginärem Raum"...
Philosophical thoughts about "time" as "imaginary space"...
Falsche Richtung für die Allgemeine Relativitätstheorie!
Wrong direction of thought to tackle general relativity!
Nicht jede "-1" ist ein "i Quadrat"!
Not every "-1" is an "i squared"!
"-1" kommt aus der (Pseudo)-Metrik!
"-1" originates from the (pseudo) metric!
$\left(\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end{array}\right)$
Noch besser: Zeit mit "+1" und Raum mit "-1"
Even better: time as "+1" and space as "-1"
$\left(\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end{array}\right)$
$d^2=(ct)^2-x^2-y^2-z^2$
Zeit-artige Abstände von Ereignissen reell! Time-like distances between events are real numbers!
Raum-artige Abstände imaginär! Space-lime distances are imaginary!
Natürliche Zahlen 0,1,2,3,4,...
Natural numbers 0,1,2,3,4,...
$3-5=?$ => Negative/Ganze Zahlen! $3-5=?$ => Negative/whole numbers!
$3/5=?$ => Brüche! Rationale Zahlen! $3/5=?$ => Fractions! Rational numbers!
$\sqrt{2}=?$ => Irrationale Zahlen! $\sqrt{2}=?$ => Irrational numbers!
$\pi=\sqrt{?}$ => Transzendente/Reelle Zahlen! $\pi=\sqrt{?}$ => Transcendent/real numbers!
$\sqrt{-1}=?$ => Imaginäre/Komplexe Zahlen! $\sqrt{-1}=?$ => Imaginary/complex numbers!
$z=a+bi$
$i^2=-1$
$i^3=$$-i$
$i^4=1$
$i^5=i$
$z_1=a+bi$
$z_2=c+di$
$z_1z_2=(a+bi)*(c+di)$
$z_1z_2=ac+adi+cbi+bdi^2$
$z_1z_2=(ac-bd)+(ad+cb)i$
passen durch die Analogie von
Multiplikation und Drehung perfekt zur
Analogy of multiplication and rotation make them fit perfectly on a
$z=a+bk$
$k^2=+1$
$z_1=a+bk$
$z_2=c+dk$
$z_1z_2=(a+bk)*(c+dk)$
$z_1z_2=ac+adk+cbk+bdk^2$
$z_1z_2=(ac+bd)+(ad+cb)k$
passen durch die Analogie von
Multiplikation und Lorentz-Transformation perfekt zur
Analogy of multiplication and Lorentz transformation make them
fit perfectly on a
$i^2=-1$
$k^2=+1$
Was geht denn noch?
What else is possible?
Andere Zahlen führen nur zu Ellipsen und Verzerrungen... Other numbers just lead to ellipses and distortions...
...bis auf eine! ...except for one!
$\epsilon^2=0$
Ihhh! Ein Null-Teiler! Ugh! A zero divisor!
$z_1=a+b\epsilon$
$z_2=c+d\epsilon$
$z_1z_2=(a+b\epsilon)*(c+d\epsilon)$
$z_1z_2=ac+ad\epsilon+cb\epsilon+bd\epsilon^2$
$z_1z_2=(ac+0)+(ad+cb)\epsilon$
passen durch die Analogie von
Multiplikation und Galilei-Transformation perfekt zur
Analogy of multiplication and Galilei transformation make them fit perfectly on the
Euklid | Galilei | Minkowski | |
---|---|---|---|
Y-Achse
kippt um $\alpha$ Y axis tilts by $\alpha$
|
X-Achse... kippt um $\alpha$
X axis tilts by $\alpha$
|
... kippt nicht
X axis doesn´t tilt
|
...kippt um $-\alpha$
X axis tilts by $-\alpha$
|
Pythagoras
Distance pythagoras
|
$\sqrt{t^2+x^2}$
|
$\sqrt{t^2}$
|
$\sqrt{t^2-x^2}$
|
Metrik
Metric
|
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&1
\end{pmatrix}
|
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&0
\end{pmatrix}
|
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&-1
\end{pmatrix}
|
$\Delta$-Ungleichung
Triangle inequality
|
$A+B\gt C$
|
$A+B= C$
|
$A+B\lt C$
|
Komplexe
Zahlen Complex numbers
|
$a+bi$
$i^2=-1$ |
$a+b\epsilon$
$\epsilon^2=0$ |
$a+bk$
$k^2=+1$ |
-1, 0 und 1 sind nur drei Punkte auf einer
kontinuierlichen Skala
-1, 0 and 1 are just three points on a continous scale
Der kontinuierliche Übergang veranschaulicht uns wie sehr die Kreise und Hyperbeln zusammenhängen... The continous transformation shows how circles are related to hyperbolas...
...und natürlich auch das Geraden-Paar der Galilei-Metrik ...and of course to also to the parallels of the galilei plane
Ausschlaggebend ist das Verhältnis der beiden "Gewichtungsfaktoren" in der Metrik
Essential is the relation of the weight factors
Galilei-Metrik erfordert Verhältnis von "Zeit 1":"Raum 0" Galilei metric requires a relation of "time 1":"space 0"
Als Erweiterung des Raums zur Raumzeit wäre ein Faktor "unendlich" notwendig Spacetime as an extension of space would require a factor "infinity"
Auch deshalb ist die Zeit die bessere Wahl als primäre Achse Another reason why time is the better primary axis
Minkowski-Fall $k^2=+1$
Minkowski case $k^2=+1$
$(1+k)*(1-k)=?$
$(1+k)*(1-k)=1*1+1*(-k)+k*1+k*(-k)$
$(1+k)*(1-k)=1-k+k-k^2$
$(1+k)*(1-k)=1-k+k-1$
$(1+k)*(1-k)=0$
Irgendwie passend zu einer PSEUDO-Metrik... Somehow fitting for a PSEUDO metric...
Nur die "echten" komplexen Zahlen sind ein Körper Only the "genuine" complex numbers form a field